已知在平面直角坐标系xoy中，向量j=(0，1)，△OFP的面积为23，且OF•FP=t，OM=33OP+j．（I）设4＜t＜43，求向量OF与FP的夹角θ的取

题型：江门模拟难度：来源：

已知在平面直角坐标系xoy中，向量

j

=(0，1)，△OFP的面积为2

3

，且

OF

•

FP

=t，

OM

=

3

3

OP

+

j

．
（I）设4＜t＜4

3

，求向量

OF

与

FP

的夹角θ的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|

OF

|=c，t=(

3

-1)c2，当|

OP

|取最小值时，求椭圆的方程．

答案

（1）由2

3

=

1

2

|

OF

|•|FP|•sinθ，得|

OF

|•|

FP

|=

4 3

sinθ

，
由cosθ=

OF • FP

| OF |•| FP |

=

tsinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

t

.
∵4＜t＜4

3

∴1＜tanθ＜

3

∵θ∈[0，π]
∴夹角θ的取值范围是（

π

4

，

π

3

）
（2）设P(x0，y0)，则

FP

(x0-c，y0)，

OF

=(c，0).∴

OF

•

FP

=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(

3

-1)c2∴x0=

3

c
S△OFP=

1

2

|

OF

|•|y0|=2

3

∴y0=±

4 3

c

∴|

OP

|=

x 20 + y 20

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

∴当且仅当

3

c=

4 3

c

，即c=2时，|

OP

|取最小值2

6

，此时，

OP

=(2

3

，±2

3

)
∴

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)
椭圆长轴2a=

(2-2)2+(3-0)2

+

(2+2)2+(3-0)2

=8∴a=4，b2=12
或2a=

(2-2)2+(-1-0)2

+

(2+2)2+(-1-0)2

=1+

17

∴a=

1+ 17

2

，b2=

1+ 17

2

故所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
或

x2

9+ 17 2

+

y2

1+ 17 2

=1