已知椭圆C：的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且。（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；（2）求△AMN面积S的最大值。

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已知椭圆C：的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且。
（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；
（2）求△AMN面积S的最大值。

答案

解：（1）当直线MN的方程是y=h（h是常数）时，由点A是椭圆C的左顶点，知∠AMN＜90°，
而AM⊥AN，
所以可设MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得

又设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），得


由AM⊥AN，得

所以
MN：
得直线MN过定点。
（2）由
得

其中
下面求z的最小值
设得

因为当时，z是增函数，
所以当且仅当即m=0时，z取到最小值，
且最小值是，即当且仅当m=0时S取到最大值，且最大值是。