(1)设动点M的坐标为(x,y). ∵抛物线y2=4x的焦点是F(1,0),直线l恒过点F,且与抛物线交于两点A、B, 又OM⊥AB, ∴⊥,即•=0. ∴(x,y)•(x-1,y)=0,化简,得x2+y2-x=0. 又当M与原点重合时,直线l与x轴重合,故x≠0. ∴所求动点M的轨迹方程是x2+y2-x=0(x≠0). (2)设点C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2). ∵C、D在抛物线y2=4x上, ∴y12=4x1,y22=4x2,即x1+x2=,x1x2=. 又•=-4, ∴x1x2+y1y2=-4,即+y1y2=-4,解得y1y2=-8. ∵点C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2), ∴直线CD的一个法向量是=(y1-y2,x2-x1), 可得直线CD的方程为:(y1-y2)(x-x1)+(x2-x1)(y-y1)=0, 化简,得(y1-y2)x+(x2-x1)y+x1y2-y1x2=0,进一步用y1、y2分别替换x1、x2,有(y1-y2)x+(y2-y1)y-2(y1-y2)=0. 又抛物线y2=4x上任两点的纵坐标都不相等,即y1-y2≠0. ∴直线CD的方程可化为x-y-2=0. ∴直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0). |