已知中心为O的正方形ABCD的边长为2,点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点,且|MN|≤1,则OM•ON的取值范围是______.
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已知中心为O的正方形ABCD的边长为2,点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点,且|MN|≤1,则OM•ON的取值范围是______.
题型:不详
难度:
来源:
已知中心为O的正方形ABCD的边长为2,点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点,且
|
MN
|≤1
,则
OM
•
ON
的取值范围是______.
答案
由题意可得
MN
2
=
(
ON
-
OM
)
2
=
OM
2
+
ON
2
-2
OM
•
ON
≤1,
∴
OM
•
ON
≥
OM
2
+
ON
2
- 1
2
.
设CM=x,CN=y,则 MN
2
=x
2
+y
2
≤1.
OM
2
+
ON
2
=1+(1-x)
2
+1+(1-y)
2
=(1-x)
2
+(1-y)
2
+2,
表示单位圆面(x
2
+y
2
≤1 )上的点与点(1,1)连线的距离的平方加上2,
故其最小值为
(
2
-1)
2
+2=5-2
2
,最大值为
(
2
+1)
2
+2=5+2
2
.
故
OM
•
ON
的最小值等于
OM
2
+
ON
2
- 1
2
=
5-2
2
-1
2
=2-
2
.
又当
OM
和
ON
的模最大且夹角最小时,
OM
•
ON
最大,
故当M、N和点C重合时,
OM
•
ON
最大等于
2
•
2
=2,
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点,可得
OM
•
ON
的最大小于2.
故
OM
•
ON
的范围为[2-
2
,2).
故答案为[2-
2
,2).
举一反三
在菱形ABCD中,若∠B=60°,AC=4,则
CA
•
AB
=______.
题型:南通模拟
难度:
|
查看答案
等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,
AB=
2
,AD是BC边上的高,P为AD的中点,点M、N分别为AB边和AC边上的点,且M、N关于直线AD对称,当
PM
•
PN
=-
1
2
时,
AM
MB
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,D为斜边AB的中点,则
AB
•
CD
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知△ABC的外接圆的圆心O,BC>CA>AB,则
OA
•
OB
,
OA
•
OC
,
OB
•
OC
的大小关系为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
1
,F
2
是椭圆x
2
+2y
2
=4的焦点,
B(0,
2
)
,则
B
F
1
•
B
F
2
的值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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