已知a、b都是非零向量，且（a+3b）与（7a-5b）垂直，（a-4b）与（7a-2b）垂直，求a与b的夹角．

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已知a、b都是非零向量，且（a+3b）与（7a-5b）垂直，（a-4b）与（7a-2b）垂直，求a与b的夹角．

题型：不详难度：来源：
已知a、b都是非零向量，且（


a
+3


b
）与（7


a
-5


b
）垂直，（


a
-4


b
）与（7


a
-2


b
）垂直，求


a
与


b
的夹角．
答案
由已知，（


a
+3


b
）•（7


a
-5


b
）=0，（


a
-4


b
）•（7


a
-2


b
）=0，
即  7


a
2+16


a
•


b
-15


b
2=0 ①，7


a
2-30


a
•


b
+8


b
2=0 ②，
①-②得2


a
•


b
=


b
2，代入①式得


a
2=


b
2，
∴cosθ=


a
•


b
|


a
||


b
|
=
1
2


b
2
|


b
|2
=
1
2
，
故


a
与


b
的夹角为60°．
举一反三
已知向量


a
，


b
满足：|


a
|=1，|


b
|=2，且(


a
+


b
)•(


a
-2


b
)=-6，则向量


a
与


b
的夹角是______．
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已知


α
=(


3
，1)，


b
=（-2


3
，2），则


a
与


b
的夹角为 ______．
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设


e
1和


e
2是两个单位向量，夹角是60°，试求向量


a
=2


e
1+


e
2和


b
=-3


e
1+2


e
2的夹角．
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设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a|•|b|sinθ．若a=(-


3
，-1)，b=(1，


3
)，则|a×b|=______．
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设平面向量


a
=(3，5)，


b
=(-2，1)
（1）求|


a
-2


b
|的值；
（2）若


c
=


a
-(


a
•


b
)


b
，求向量


c
与


b
的夹角的余弦值．
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