已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x)=f (2+x)成立,设向量a=( sinx,2 ),b=(2sinx,12),c=( co
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已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x)=f (2+x)成立,设向量a=( sinx,2 ),b=(2sinx,12),c=( co
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数f (x)=x
2
+mx+n对任意x∈R,都有f (-x)=f (2+x)成立,设向量
a
=( sinx,2 ),
b
=(2sinx,
1
2
),
c
=( cos2x,1 ),
d
=(1,2),
(Ⅰ)求函数f (x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,π]时,求不等式f (
a
•
b
)>f (
c
•
d
)的解集.
答案
(Ⅰ)设f(x)图象上的两点为A(-x,y
1
)、B(2+x,y
2
),
因为
(-x)+(2+x)
2
=1
f (-x)=f (2+x),所以y
1
=y
2
由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴x≥1时,f(x)是增函数;x≤1时,f(x)是减函数,
∴函数的单调增区间是[1,+∞);单调减区间是(-∞,1].
(Ⅱ)∵
a
•
b
=(sinx,2)•(2sinx,
1
2
)=2sin
2
x+1≥1,
c
•
d
=(cos2x,1)•(1,2)=cos2x+2≥1,
∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,
∴f (
a
•
b
)>f (
c
•
d
)⇔f(2sin
2
x+1)>f(cos2x+2)
⇔2sin
2
x+1>cos2x+2⇔1-cos2x+1>cos2x+2
⇔cos2x<0⇔2kπ+
π
2
<2x<2kπ+
3π
2
,k∈z
⇔kπ+
π
4
<x<kπ+
3π
4
,k∈z
∵0≤x≤π,∴
π
4
<x<
3π
4
综上所述,不等式f (
a
•
b
)>f (
c
•
d
)的解集是:{ x|
π
4
<x<
3π
4
}.
举一反三
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,右焦点到直线
x+y+
6
=0
的距离为
2
3
,过M(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若直线l交x轴于N,
NA
=-
7
5
NB
,求直线l的方程.
题型:长春一模
难度:
|
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已知AD是△ABC的中线,若∠A=120°,
AB
•
AC
=-2
,则
|
AD
|
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量
m
=(
3
,-2sinA),
n
=(2cos
2
A
2
-1,cos2A),且
m
‖
n
,A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2,求△ABC的面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A、B,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)b∈[a,b],已知向量
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
,若不等式
|
MN
|≤k
恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数
y=x-
1
x
在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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在直角坐标系中,角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,函数
f(x)=
OA
•
OB
,若
f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.
题型:不详
难度:
|
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