已知A(a,a2)为抛物线y=x2上任意一点,直线l为过点A的切线,设直线l交y轴于点B,P∈l,且AP=2PB.当A点运动时,求点P的轨迹方程;求点C(0,1
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已知A(a,a2)为抛物线y=x2上任意一点,直线l为过点A的切线,设直线l交y轴于点B,P∈l,且AP=2PB.当A点运动时,求点P的轨迹方程;求点C(0,1
题型:不详
难度:
来源:
已知A(a,a
2
)为抛物线y=x
2
上任意一点,直线l为过点A的切线,设直线l交y轴于点B,P∈l,且
AP
=2
PB
.当A点运动时,求点P的轨迹方程;求点
C(0,
1
12
)
到动直线l的最短距离,并求此时l的方程.
答案
(1)设P(x,y)因为y
A
′=2x|
x=a
=2a,所以过点A的切线方程为y-a
2
=2a(x-a).
令x=0,则y=-a
2
,B点坐标为(0,-a
2
),
又
AP
=2
PB
,
AP
=(x-a,y-a
2
),
PB
=(-x,-a
2
-y)
∴
x-a=-2x
y-
a
2
=2(-
a
2
-y)
化简得,
x=
a
3
y=-
a
2
3
消去a,得y=-3x
2
∴点P的轨迹方程为y=-3x
2
(2)设C到l的距离为d,则
d=
1
12
+
a
2
4
a
2
+1
=
1
4
[
4
a
2
+1
-
2
3
4
a
2
+1
]
设
4
a
2
+1
=t(t≥1)
,则
d=
1
4
(t-
2
3
•
1
t
)
,d为t的增函数,
∴
d
min
=
1
4
(1-
2
3
)=
1
12
故C到l的最短距离为
1
12
,此时l的方程为y=0.
举一反三
设F
1
是椭圆
x
2
4
+y
2
=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则
PF1
•
PO
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
={sinx,cosx}
,
b
={cosx,cosx},(x∈R)
,已知函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)
(1)求函数f(x)的最值与最小正周期;
(2)求使不等式
f(x)≥
3
2
x∈[0,π]成立的x的取值范围.
题型:上海模拟
难度:
|
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在△ABC所在的平面内有一点P,满足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
题型:蓝山县模拟
难度:
|
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已知P是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1上的一点,F
1
、F
2
是该椭圆的两个焦点,若△PF
1
F
2
的内切圆半径为
1
2
,则
P
F
1
•
P
F
2
的值为( )
A.
3
2
B.
9
4
C.
-
9
4
D.0
题型:成都二模
难度:
|
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直线l:y=k(x-2)+2与圆C:x
2
+y
2
-2x-2y=0相切,则直线l的一个方向向量v=( )
A.(2,-2)
B.(1,1)
C.(-3,2)
D.(1,
1
2
)
题型:成都模拟
难度:
|
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