已知圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆C相切.(1)求直线l1的方程;(2)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l2与圆

已知圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆C相切.(1)求直线l1的方程;(2)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l2与圆

题型:不详难度:来源:
已知圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆C相切.
(1)求直线l1的方程;
(2)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l2与圆C有两个不同的交点M、N.且 


OM


ON
=12,求k的值.
答案
(1)设直线l1的方程为y=m(x-3),即mx-y-3m.=0        …(1分)
圆心C到直线l1的距离d=
|2m-3-3m|


1+k2
=1
,解得m=-
4
3
,…(2分)
所以直线l1的方程为4x+3y-12=0;
当直线斜率不存在时,直线x=3也与圆C相切,
所以直线l1的方程为4x+3y-12=0或x=3.               …(5分)
(2)设l2的方程为y=k(x-1),
将直线l2的方程与圆C的方程消去y,得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则由根与系数的关系可得:
x1+x2=
4(1+k)
1+k 2
,x1x2=
7
1+k 2

从而y1y2=(kx1+1)•(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
因此,


OM


ON
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=(1+k2)•
7
1+k 2
+k•
4(1+k)
1+k 2
+1=
4k(1+k)
1+k 2
+8,


OM


ON
=
4k(1+k)
1+k 2
+8=12,整理得k(1+k)=1+k2,解之得k=1.
经检验,可得此时△>0,所以k=1符合题意.…(14分)
举一反三
四边形ABCD的顶点坐标为A(4,5),B(1,1),C(5,1),D(8,5),则四边形ABCD为(  )
A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.矩形
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已知向量


OA
=(4,3),


OB
=(-1,t),


OC
=(6,8)(t∈R);
(1)若t=2,点M是线段BC上一点,且满足


BM
=2


MC
,求线段AM的长度;
(2)若


OA


OB
=


OC


OB
,求t的值.
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已知F1、F2分别为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,Q是y轴上的一个动点,若|


PF1
|-|


PF2
|=4,则


PQ
•(


PF1
-


PF2
)=______
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若向量


a
=(cosα,sinβ),


b
=(cosα,sinβ),则


a


b
一定满足(  )
A.


a


b
的夹角等于α-β
B.


a


b
C.


a


b
D.(


a
+


b
)⊥(


a
-


b
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a
=(1-cosα,sinα),


b
=(1+cosβ,sinβ),


c
=(1,0),α、β∈(0,π),


a


c
的夹角为θ1


b


c
的夹角为θ2,且θ12=
π
3

(1)求cos(α+β)的值;(2)设


OA
=


a


OB
=


b


OD
=


d
,且


a
+


b
+


d
=3


c
求证:△ABD是正三角形.
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