如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点,计算:(1)·;(2)·;(3)EG的长;(4)异面直线A

如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点,计算:(1)·;(2)·;(3)EG的长;(4)异面直线A

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如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点,计算:

(1)·
(2)·
(3)EG的长;
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
答案
(1)   (2)-   (3)   (4)
解析
解:设=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.
BD=c-a,=-a,=b-c,
(1)·=(c-a)·(-a)
a2a·c=
(2)· (c-a)·(b-c)
 (b·c-a·b-c2+a·c)=-
(3)
a+b-a+c-b=-a+b+c.
||2a2b2c2a·b+b·c-c·a=.
即||=
所以EG的长为.
(4)设的夹角为θ.
b+c,=-b+a,
cosθ==-
由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
举一反三
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是(  )
A.平行B.相交
C.异面垂直D.异面不垂直

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已知点A(1,t,-1)关于x轴的对称点为B,关于xOy平面的对称点为C,则BC中点D的坐标为________.
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如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,

(1)求证:A1、G、C三点共线;
(2)求证:A1C⊥平面BC1D;
(3)求点C到平面BC1D的距离.
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平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(  )
A.(,-1,-1)B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2)D.(-1,1,4)

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈〉的值为(  )
A.B.C.D.

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