试题分析:(1)连结BD交AC于O,取PF中点G,连结OF,BG,EG,利用EO,EG分别为BG,FC的中位线,得到它们对应平行,进而得到平面BEG与平面ACF平行,再由面面平行的性质得到线面平行. (2)要求线面角,需要先找到线面角的代表角,即过C点做面PAD的垂线,因为PA垂直于底面,所以过C作线段AD的垂线与AD交于H,则CH垂直于面PAD,所以角CPH即为线面角的代表角,要求该角的正弦值,就需要求出PC与CH,可以利用△PAC和△ACH为直角三角形通过勾股定理求出,进而得到线面角的正弦值. 解:(1)证明1:连接BD交AC于点O,取 中点 ,连接 、 、 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111519-46230.png) 因为 、 分别是 、 的中点, 所以 , 又 ,所以 2分 因为 、 分别是 、 的中点, 所以 ,同理可得 4分 又 所以,平面 平面 . 又因为 平面 ,故 平面 . 6分 证明2:作AH垂直BC交BC于H 建立如图的空间直角坐标系O-XYZ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111520-52151.jpg) 令AD=PA=2,则AB=1 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111520-95122.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111521-79411.png)
为 中点, 所以 2分 设面AFC的一个法向量 ,又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111521-53103.png) 由 , 所以 令 4分
所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111522-68983.png) 所以 故 平面 . 6分 (2)解1:因为 , ,所以 . 过C作AD的垂线,垂足为H,则 , ,所以 平面PAD. 故 为PC与平面PAD所成的角. 9分 设 ,则 , , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111523-17771.png) 所以 ,即为所求. 12分 解2:作AH垂直BC交BC于H,建立如图的空间直角坐标系O-XYZ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105111523-76135.jpg) 令AD=PA=2,则AB=1, 所以 8分 因为 ,所以面PCD的一个法向量为 10分 令PC与平面PAD所成的角为 ,则
故PC与平面PAD所成角的正弦值为 . 12分. |