试题分析:(1)利用空间向量研究线面角,关键在于正确表示各点坐标,正确求出平面一个法向量,正确理解线面角与向量夹角之间互余的关系. 建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,2). 所以又由知为平面的一个法向量. =,解得(2)同(1)若在上存在这样的点Q,设此点的横坐标为x,则.,即Q为的中点. (1)建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以 又由的一个法向量.设与所成的角为, 则=, 5分 解得.故当时,直线AP与平面所成角为60º. 7分 (2)若在上存在这样的点Q,设此点的横坐标为x, 则. 依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于
即Q为的中点时,满足题设的要求. 14分 |