如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=20,BC=15.动点P从A开始,以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动,过点P分别作AC、
题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=20,BC=15.动点P从A开始,以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动,过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为E、F.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002803-61493.png) (1)求AB与CD的长; (2)当矩形PECF的面积最大时,求点P运动的时间t; (3)以点C为圆心,r为半径画圆,若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时,求r的取值范围. |
答案
(1)25,12;(2)6.25;(3)r=12,15<r≤20. |
解析
试题分析:(1)在Rt△ABC中,先利用勾股定理求出AB的长,然后由面积关系求出CD的长; (2)由相似关系可以求出PE、CE与t的关系,矩形PECF的面积最大,求点P运动的时间t; (3)当圆与AB相切时,r=12,当圆与AB相交且只有一个交点时,15<r≤20. 试题解析:(1)在Rt△ABC中,AC=20,BC=15 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002803-13907.png) 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002804-97889.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002804-12237.png) (2)∵△APE∽△ABC, ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002804-16715.png) ∴ ,即 , 同理可求:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002805-79104.png) 设矩形PECF的面积为S,S="1.2t(20-1.6t)" ,当t=6.25时,S有最大值. (3)当圆与AB相切时,r=12,当圆与AB相交且只有一个交点时,15<r≤20. 考点: 1.勾股定理;2.二次函数;3.直线与圆的位置关系. |
举一反三
如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:DB=3:1,则折痕EF的长 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002744-47708.png) |
如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105002737-75488.png) (1)求证:直线PA为⊙O的切线; (2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC=6,tan∠F= ,求cos∠ACB的值和线段PE的长. |
在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的面积是( )A.16πcm2 | B.25πcm2 | C.48πcm2 | D.9πcm2 |
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有下列结论:(1)平分弦的直径垂直于弦;(2)圆周角的度数等于圆心角的一半;(3)等弧所对的圆周角相等;(4)经过三点一定可以作一个圆;(5)三角形的外心到三边的距离相等;(6)垂直于半径的直线是圆的切线.其中正确的个数为( ) |
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