如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使A
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如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使A
题型:不详
难度:
来源:
如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,
,M是线段AE上的动点.
(1)试确定点M的位置,使AC∥平面DMF,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)所求二面角的余弦值为
.
解析
试题分析:(1)要使得AC∥平面DMF,需要使得AC平行平面DMF内的一条直线.为了找这条直线,需要作一个过AC而与平面DMF相交的平面.为此,连结CE,交DF于N,连结MN,这样只要AC∥MN即可.因为N为线段DF的中点,所以只需M是线段AE的中点即可.
(2)思路一、(综合法)首先作出它们的交线.过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,由于AC∥平面DMF,由线面平行的性质定理知AC∥l.为了求二面角,首先作出其平面角.作平面角第一步是过其中一个面内一点作另一个面的垂线,而要作垂线先作垂面.在本题中,由于平面
平面
,所以过点M作MG⊥AD于G,因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,则平面ADE⊥平面ABCD,所以MG⊥平面ABCD,过G作GH⊥l于H,连结MH,则直线l⊥平面MGH,所以l⊥MH,故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.(另外也可过点C作直线l的垂线)思路二、因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,可知AD,CD,DE两两垂直,所以可分别以
,
,
的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.然后利用空间向量求解.
(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面DMF.
证明如下:
连结CE,交DF于N,连结MN,
由于M、N分别是AE、CE的中点,所以MN∥AC,
由于MN
平面DMF,又AC
平面DMF,
所以AC∥平面DMF. 4分
(2)方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,由于AC∥平面DMF,可知AC∥l,
过点M作MG⊥AD于G,
因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,
所以DE⊥平面ABCD,则平面ADE⊥平面ABCD,
所以MG⊥平面ABCD,
过G作GH⊥l于H,连结MH,则直线l⊥平面MGH,所以l⊥MH,
故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角. 8分
设
,则
,
,
,则
, 11分
所以
,即所求二面角的余弦值为
. 12分
方法二、因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,可知AD,CD,DE两两垂直,分别以
,
,
的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
设
,则
,
,
,
,
设平面MDF的法向量
,
则
所以
令
,得平面MDF的一个法向量
, 8分
取平面ABCD的法向量
, 9分
由
, 11分
故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为
. 12分
举一反三
如图,在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱
中,P是侧棱
上的一点,
.
(1)试确定m,使直线AP与平面BDD
1
B
1
所成角为60º;
(2)在线段
上是否存在一个定点
,使得对任意的m,
⊥AP,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
为矩形,侧棱
底面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求直线
与
所成角的余弦值;
(2)在侧面
内找一点
,使
面
,并求出点
到
和
的距离.
题型:不详
难度:
|
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如图,边长为1的正三角形
所在平面与直角梯形
所在平面垂直,且
,
,
,
,
、
分别是线段
、
的中点.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如下图,在三棱锥
中,
底面
,点
为以
为直径的圆上任意一动点,且
,点
是
的中点,
且交
于点
.
(1)求证:
面
;
(2)当
时,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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