如图,圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点,E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点,满足EF⊥DE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值;(2

如图,圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点,E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点,满足EF⊥DE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值;(2

题型:不详难度:来源:
如图,圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点,E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点,满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值;
(2)求二面角OOFE的正弦值.
答案
(1)(2)
解析
(1)以O为原点,底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴,OB所在的线为y轴,OP所在的线为z轴,建立空间直角坐标系,则
B(0,2,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,1,2).
设F(x0,y0,0)(x0>0,y0>0),且=4,
=(x0,y0-1,-2),=(0,1,0),
∵EF⊥DE,即,则·=y0-1=0,故y0=1.
∴F(,1,0),=(,0,-2),=(0,-2,2).
设异面直线EF与BD所成角为α,则cosα=.
(2)设平面ODF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
令x1=1,得y1=-,平面ODF的一个法向量为n1=(1,-,0).
设平面DEF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
同理可得平面DEF的一个法向量为n2.
设二面角ODFE的平面角为β,则|cosβ|=.
∴sinβ=.
举一反三
如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
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设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点,则使=0成立的点M的个数为________.
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若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.
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如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.

(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角DA1CE的正弦值..
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如图所示,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.

(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
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