如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.

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如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.

则N

，E(0，0，1)，A(

，

，0)，M

.
∴

＝

，

＝

.
∴

＝

且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
∵NE

平面BDE，AM

平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知

＝

，
∵D(

，0，0)，F(

，

，1)，∴

＝(0，

，1)，
∴

＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

举一反三

如右图，在棱长为a的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，G为△BC₁D的重心，

(1)试证：A₁、G、C三点共线；
(2)试证：A₁C⊥平面BC₁D；

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如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．

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如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

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设A₁、A₂、A₃、A₄、A₅是空间中给定的5个不同的点，则使

＋

＝0成立的点M的个数为________．

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若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为________．

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