如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,BA⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=1,AB=ED=EF=2,AD=D

如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,BA⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=1,AB=ED=EF=2,AD=D

题型:不详难度:来源:
如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFGAD⊥平面DEFGBAACEDDGEFDG,且AC=1,ABEDEF=2,ADDG=4.
 
(1)求证:BE⊥平面DEFG
(2)求证:BF∥平面ACGD
(3)求二面角FBCA的余弦值.
答案
(1)见解析(2)见解析(3)
解析
(1)证明:∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEBAB,平面DEFG∩平面ADEBDE,∴ABDE.
又∵ABDE,∴四边形ADEB为平行四边形,∴BEAD.
AD⊥平面DEFG,∴BE⊥平面DEFG.
(2)证明:设DG的中点为M,联结AMMF,则DMDG=2,

EF=2,EFDG,∴四边形DEFM是平行四边形,
MFDEMFDE,由(1)知,四边形ADEB为平行四边形,∴ABDEABDE,∴ABMFABMF
∴四边形ABFM是平行四边形,
BFAM,又BF⊄平面ACGDAM⊂平面ACGD,故BF∥平面ACGD.

(3)由已知,ADDEDG两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,4),B(2,0,4),C(0,1,4),F(2,2,0),
=(0,2,-4),=(-2,1,0).
设平面FBC的法向量为n1=(xyz),则
z=1,则n1=(1,2,1),
而平面ABC的法向量可为n2=(0,0,4),
则cos〈n1n2〉=
由图形可知,二面角FBCA的余弦值为-
举一反三
如图所示,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB∥A1B1,AB=2A1B1=2DD1=2a.

(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;
(2)已知F是AD的中点,求证:FB1⊥平面BCC1B1.
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如图,在三棱柱ABC­A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值;
(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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如图(1),四边形ABCD中,E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将图(1)沿直线BD折起,使得二面角A­BD­C为60°,如图(2).

(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.
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如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=.

(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角E­AP­B的余弦值.
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如图,在四棱锥P­ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
(2)求B点到平面PCD的距离;
(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q­AC­D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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