试题分析:(1)证明BE∥平面PAD,只需证明AF∥BE; (2)过C作DE的垂线,交DE的延长线于N,连接BN,证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角,从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值; (3)假设PC上存在点M,使得AM⊥平面PBD,则AM⊥PD,可得点M与E重合.取CD中点G,连接EG,AG,则BD⊥AG,证明PD⊥平面BCD,从而PD⊥AD,这与△PAD是等边三角形矛盾. 试题解析:(1)取PD中点F,连接AF, EF
则, 又, ∴ ∴ ∴四边形ABEF是平行四边形 2分 ∴AF∥BE 又平面PAD,平面PAD ∴//平面 4分 (2)过C作DE的垂线,交DE的延长线于N,连接BN ∵平面底面, ∴平面 ∴AF 又AF⊥PD, ∴AF⊥平面PCD ∴BE⊥平面PCD ∴BE⊥CN,又CN⊥DE, ∴CN⊥平面BDE ∴CBN就是直线与平面BDE所成角 7分 令AD=1,,易求得, ∴sinCBN= ∴cosCBN= 故与平面BDE所成角的余弦值为 9分 (3)假设PC上存在点M,使得AM⊥平面PBD 则AM⊥PD,由(2)AF⊥PD ∴PD⊥平面AFM,又PD⊥平面ABEF 故点M与E重合。 1分 取CD中点G,连接EG,AG 易证BD⊥AG,又BD⊥AE ∴BD⊥平面AEG ∴BD⊥EG ∴BD⊥PD,又PD⊥CD ∴PD⊥平面BCD 从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾 (另解坐标法) 证明:取AD中点O,连接PO∵侧面PAD是等边三角形 ∴PO⊥AD 又∵平面底面, ∴PO⊥平面ABCD 2分 设,如图建立空间坐标系,则
,, ,. 3分 (1),, 所以, ∵平面,∴平面. 5分 (2), 设平面的一个法向量为 则 求得平面的一个法向量为; 7分 , 8分 所以直线与平面所成角的余弦值为。 10分 (3)设存在点M(满足AM⊥平面PBD,则M、P、C三点共线 因为,所以存在实数,使得 即 11分 ∵AM⊥平面PBD ∴ 得(不合题意) 故在线段上不存在点M满足题意。 14分 |