如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
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如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)取,若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知四棱锥
中,底面
为菱形,
平面
,
,
分别是
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)取
,若
为
上的动点,
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值。
答案
(1)详见解析;(2)
解析
试题分析:(1)用线面垂直证
,用等腰三角形中线即为高线证
即
,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角。因为
为定值,所以
最短即
最短时角的正弦值最大。故此时
。故此可推导出
的值,过
作
于
,则
平面
,过
作
于
,连接
,则
为二面角
的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形
为菱形,
,可得
为正三角形,因为
为
的中点,
所以
1分
又
,因此
2分
因为
平面
,
平面
,
所以
3分
而
平面
,
平面
,
所以
平面
. 5分
(2)
为
上任意一点,连接
由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角 6分
在
中,
,
所以当
最短时,即当
时,
最大 . 7分
此时
, 因此
又
,所以
,
所以
8分
因为
平面
,
平面
,
所以平面
平面
过
作
于
,则
平面
,
过
作
于
,连接
,则
为二面角
的平面角, 10分
在
中,
又
是
的中点,在
中,
又
11分
在
中,
即所求二面角的余弦值为
。 13分
第二问:方法二
(2)由(1)可知
两两垂直,
以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。
设
,则
(其中
) 6分
面
的法向量为
与平面
所成最大角的正切值为
7分
的最大值为
,
即
在
的最小值为
,
函数
对称轴
,
所以
,计算可得
9分
所以
设平面
的一个法向量为
,则
因此
,取
,则
11分
为平面
的一个法向量. 12分
所以
所以,所求二面角的余弦值为
13分
举一反三
如图,四棱锥
的底面
为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中
,
,平面
底面
,
是
的中点.
(1)求证:
//平面
;
(2)求
与平面BDE所成角的余弦值;
(3)线段PC上是否存在一点M,使得AM⊥平面PBD,如果存在,求出PM的长度;如果不存在,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
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在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足
=
=
=
(如图(1)),将△AEF沿EF折起到△
EF的位置,使二面角
EF
B成直二面角,连接
B、
P(如图(2)).
(1)求证:
E⊥平面BEP;
(2)求直线
E与平面
BP所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,在直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中,∠
ACB
=90°,∠
BAC
=30°,
BC
=1,
A
1
A
=
,
M
是
CC
1
的中点.
(1)求证:
A
1
B
⊥
AM
;
(2)求二面角
B
AM
C
的平面角的大小..
题型:不详
难度:
|
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如图,在长方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AB
=4,
AD
=3,
AA
1
=2,
E
,
F
分别是棱
AB
,
BC
上的点,且
EB
=
FB
=1.
(1)求异面直线
EC
1
与
FD
1
所成角的余弦值;
(2)试在面
A
1
B
1
C
1
D
1
上确定一点
G
,使
DG
⊥平面
D
1
EF
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
D
,
E
分别是
AB
,
BB
1
的中点,
AA
1
=
AC
=
CB
=
AB
.
(1)证明:
BC
1
∥平面
A
1
CD
;
(2)求二面角
D
-
A
1
C
-
E
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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