(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E,B1(a,0,1),
故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=. ∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0, ∴B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)(0≤z0≤1), 使得DP∥平面B1AE.此时=(0,-1,z0). 又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z). 由n⊥,n⊥,得. 取x=1,得平面B1AE的一个法向量n= 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0, 解得z0=. 又DP⊄平面B1AE, ∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=. (3)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D, ∴AD1⊥B1C. 又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1, ∴AD1⊥平面DCB1A1, ∴是平面A1B1E的一个法向量,此时=(0,1,1). 设与n所成的角为θ,则 cos θ==. ∵二面角A-B1E-A1的大小为30°, ∴|cos θ|=cos 30°,即=, 解得a=2,即AB的长为.2 |