(本小题满分12分)如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点 .(1)求二面角B1MNB的正切值;(2)求证:PB⊥
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点 .
(1)求二面角B1MNB的正切值; (2)求证:PB⊥平面MNB1; (3)若正方体的棱长为1,画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离 . |
答案
(1)解:连结BD交MN于F,连结B1F. ∵平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD, ∴AC⊥平面DD1B1B.又∵AC//MN, ∴MN⊥平面DD1B1B. ∵B1F,BF平面DD1B1B, ∴B1F⊥MN,BF⊥MN. ∵B1F平面B1MN, BF平面BMN,则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角. -----------------------2分 在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=, ∴tan∠B1FB=. -------------------------4分 (2)证明:过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连结BE. 又DA⊥平面ABB1A1,∴PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M. 又BE⊥B1M,∴B1M⊥平面PEB. ∴PB⊥MB1. 由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1. -----------------8分 (3)解:PB=,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一: -------------12分 |
解析
试题分析:(1)要求二面角B1-MN-B的正切值,我们要先找出二面角的平面角,再构造三角形,解三角形求出其正切值. (2)要证明PB⊥平面B1MN,我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线,分析题意可知B1M,B1N满足要求,进而可以转化为证明线线垂直. (3)利用侧面展开图来得到BP的长度的求解。 点评:解决该试题的关键是线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.本题也可以用空间向量来解决,其步骤是:建立空间直角坐系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解。 |
举一反三
已知A(1,0,2),B(1,1),点M在轴上且到A、B两点的距离相等,则M点坐标为 A.(,0,0) B.(0,,0) C.(0,0,) D.(0,0,3) |
与A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件为__________. |
以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形形状为 . |
设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( ) |
点P(1,2,3)关于OZ轴的对称点的坐标为( )A.(-1, -2, 3) | B.(1, 2, -3) | C.(-1, -2, -3) | D.(-1, 2, -3) |
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