已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP=xOA+yOB+zOC(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的（　　）A．充分但

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已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP=xOA+yOB+zOC(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的（　　）A．充分但

题型：杭州二模难度：来源：
已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足


OP
=x


OA
+y


OB
+z


OC
(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的（　　）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案
已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足


OP
=x


OA
+y


OB
+z


OC
(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得


OA
=


OB
+x1


BC
+y1


BD

=


OB
+x1（


OC
-


OB
）+y1（


OD
-


OB
）
=（1-x1-y1）


OB
+x1


OC
+y1


OD
，
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
则有


OA
=x


OB
+y


OC
+z


OD
，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得


OA
=x


OB
+y


OC
+z


OD
．
所以x=1-y-z得


OA
=（1-y-z）


OB
+y


OC
+z


OD
．


OA
=


OB
+y


BC
+z


BD
，即：


BA
=y


BC
+z


BD
，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得


OA
=x


OB
+y


OC
+z


OD
．
故选C．
举一反三
设向量


a
=（2，2m-3，n+2），


b
=（4，2m+1，3n-2），若


a
∥


b
，则m•n=______．
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已知


a
=（2，-1，2），


b
=（-1，3，-3），


c
=（13，6，λ），若向量


a
，


b
，


c
共面，则λ=______．
题型：不详难度：| 查看答案
下列命题中正确的是（　　）
A．若


a
∥


b
，


b
∥


c
，则


a
与


c
所在直线平行
B．向量


a
、


b
、


c
共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若


a
∥


b
，则存在唯一的实数λ，使


a
=λ


b
题型：不详难度：| 查看答案
有以下命题：
①如果向量


a
，


b
与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么


a
，


b
的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量


OA
，


OB
，


OC
不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量


a
，


b
，


c
是空间的一个基底，则向量


a
+


b
，


a
-


b
，


c
，也是空间的一个基底．
其中正确的命题是（　　）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
题型：不详难度：| 查看答案
空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（-2，-1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　）
A．垂直B．平行
C．异面D．相交但不垂直
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