已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),若a•c=9,b•c=-4.(1)若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标;(2)是否存在向量c,使得c与

已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),若a•c=9,b•c=-4.(1)若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标;(2)是否存在向量c,使得c与

题型:不详难度:来源:
已知


a
=(3,1,5),


b
=(1,2,-3),若


a


c
=9,


b


c
=-4.
(1)若向量


c
垂直于空间直角坐标系的z轴,试求


c
的坐标;
(2)是否存在向量


c
,使得


c
与z轴共线?试说明理由.
答案
(1)设


c
=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,a)(a≠0),则由题意得:





(3,1,5)•(x0,y0,z0)=9
(1,2,-3)•(x0,y0,z0)=-4
(0,0,a)•(x0,y0,z0)=0(a≠0)

解得





x0=
22
5
y0=-
21
5
z0=0
,即


c
=(
22
5
,-
21
5
,0).
(2)令设


c
=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,a)(a≠0),则由题意,
知(x1,y1,z1)=λ(0,0,a)=(0,0,λa)(a≠0),
所以x1=0,y1=0,z1=λa,即


c
=(0,0,λa)(a≠0),


a


c
=9,


b


c
=-4,即





(3,1,5)•(0,0,λa)=9
(1,2,-3)•(0,0,λa)=-4





λa=
9
5
λa=
4
3
,显然矛盾.
∴不存在满足题意的向量


c
,使得


c
与z轴共线.
举一反三
已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ),若


AB


AC
,则λ的值为______.
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已知


a
=(1,2,3),


b
=(2,x,4)
,如果


a


b
,则x=______.
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已知向量a=(-2,x,5)与b=(-8,-2,0)互相垂直,则x=______.
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在空间直角坐标系中,若向量


a
=(-2,1,3),


b
=(1,-1,1),


c
=(1,-
1
2
,-
3
2
)
,则它们之间的关系是(  )
A.


a


b


a


c
B.


a


b


a


c
C.


a


b


a


c
D.


a


b


a


c
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在空间直角坐标系中,点P的坐标为(1,


2


3
),过点P作yOz平面的垂线PQ,则垂足Q的坐标是______.
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