正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:⊥平面；(2)求二面角余弦值.

题型：不详难度：来源：

正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.

(1)求证:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.

答案

(1)详见解析；（2）.

解析

试题分析：(1)先根据题意找到BC中点O，证明，平面，从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面中相关向量坐标以及的坐标，由向量的数量积为0证明线线垂直，从而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上问可知平面的法向量即，再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值，经观察可知即为二面角余弦值.从而得到本题的解.
试题解析：（1）取BC中点O,连AO,
∵为正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,

则.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)设平面的法向量为,.
,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,
∴为平面的法向量,,
经检验易知二面角的余弦值为.