正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:⊥平面;(2)求二面角余弦值.

正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:⊥平面;(2)求二面角余弦值.

题型:不详难度:来源:
正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.

(1)求证:⊥平面
(2)求二面角余弦值.
答案
(1)详见解析;(2).
解析

试题分析:(1)先根据题意找到BC中点O,证明平面,从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面中相关向量坐标以及的坐标,由向量的数量积为0证明线线垂直,从而得到⊥平面;(2)先求出平面的法向量,又由上问可知平面的法向量即,再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值,经观察可知即为二面角余弦值.从而得到本题的解.
试题解析:(1)取BC中点O,连AO,
为正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,

.
,
,.
,,∴   
(2)设平面的法向量为,.
,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知,
为平面的法向量,,
经检验易知二面角的余弦值为.
举一反三
斜三棱柱,其中向量,三个向量之间的夹角均为,点分别在上且=4,如图

(Ⅰ)把向量用向量表示出来,并求
(Ⅱ)把向量表示;
(Ⅲ)求所成角的余弦值.
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如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且

(1)求证:面平面
(2)求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面

(Ⅰ)若点的中点,求证:平面
(II)试问点在线段上什么位置时,二面角的余弦值为.
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已知平行六面体中,    
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在平面直角坐标系中,设A(-2,3),B(3,-2),沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后,这时则的大小为     
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