试题分析:(1)先利用直线与平面垂直的性质定理,得到 和 ,因为 ,所以利用直线与平面垂直的判定定理可知, ;(2)首先分别以射线,,为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系,由直线与平面垂直的性质定理得到,那么矩形为正方形,由此可知此正方形的边的长度,根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标,分别求出平面和平面的法向量的坐标,根据二面角与其法向量夹角的关系,求得二面角的余弦值,再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值. 试题解析:(1)证明 ∵,,∴.2分 同理由,可证得. 又,∴. 4分 (2)如图,分别以射线,,为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系.
由(1)知,又, ∴. 故矩形为正方形,∴. 6分 ∴. ∴. 设平面的一个法向量为,则,即, ∴,取,得. ∵,∴为平面的一个法向量.10分 所以. 11分 设二面角的平面角为,由图知,,所以. ∴ 所以,即二面角的正切值为. 12分 |