已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。(1)证明:面面;(2)求与所成的角;(3)求面与面所成二面角的余弦值.
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已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。(1)证明:面面;(2)求与所成的角;(3)求面与面所成二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
已知四棱锥
的底面为直角梯形,
,
底面
,且
,
,
是
的中点。
(1)证明:面
面
;
(2)求
与
所成的角;
(3)求面
与面
所成二面角的余弦值.
答案
证明:以
为坐标原点
长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
.
(1)证明:因
由题设知
,且
与
是平面
内的两条相交直线,由此得
面
.又
在面
上,故面
⊥面
.
(2)因
(3)平面
的一个法向量设为
,
平面
的一个法向量设为
,
所求二面角的余弦值为
解析
(1)利用面面垂直的性质,证明CD⊥平面PAD.
(2)建立空间直角坐标系,写出向量
与
的坐标,然后由向量的夹角公式求得余弦值,从而得所成角的大小.
(3)分别求出平面
的法向量和面
的一个法向量,然后求出两法向量的夹角即可.
举一反三
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。
(Ⅰ)求证:AE⊥PD;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为
,求二面角E-AF-C的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面ABCD是正方形,侧棱
底面ABCD,
,E是PC的中点,作
交PB于点F.
(1)证明
平面
;
(2)证明
平面EFD;
(3)求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方形AA
1
D
1
D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB上一点
(I) 当点E为AB的中点时,求证;BD
1
//平面A
1
DE
(II)求点A
1
到平面BDD
1
的距离;
(III) 当
时,求二面角D
1
-EC-D的大小.
题型:不详
难度:
|
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若直线
l
的方向向量为
a
=(1,-1,2),平面
α
的法向量为
u
=(-2,2,-4),则( )
A.
l
∥
α
B.
l
⊥
α
C.
l
⊂
α
D.
l
与
α
斜交
题型:不详
难度:
|
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若
,
,
是平面
内的三点,设平面
的法向量
,则
______________
题型:不详
难度:
|
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