如图,已知四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点.(1)证明平面;(2)求二面角的余弦值.
题型:不详难度:来源:
如图,已知四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点. (1)证明平面; (2)求二面角的余弦值. |
答案
解法一:(1)连结,设与交于点,连结. ∵底面ABCD是正方形,∴为的中点,又为的中点, ∴, ∵平面,平面,∴平面. 解法二:(1)以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,设,则. ∴,设是平面的一个法向量, 则由 ∵,∴, ,∴ (2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量,又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为,由题意可知. ∴. |
解析
本试题考查了同学们空间想象能力,以及对于空间中的线面平行的判定定理和二面角的求解运用。即可运用几何方法,也可以运用空间向量法来解决。 |
举一反三
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,底面,,,,,E在棱上, (Ⅰ) 当时,求证: 平面; (Ⅱ) 当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值. |
如图,在正四棱柱中,,,为的中点,. (Ⅰ) 证明:∥平面; (Ⅱ)证明:平面. |
如图所示,己知三棱柱的侧棱与底面垂直,,MN分别是的中点,P点在上,且满足 (I)证明: (II)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大?并求出该最大角的正切值; (III) 在(II)条件下求P到平而AMN的距离. |
如图,在边长为4的菱形中,.点分别在边上,点与点不重合,.沿将翻折到的位置,使平面平面. (1)求证:平面; (2)设点满足,试探究:当取得最小值时,直线与平面所成角的大小是否一定大于?并说明理由. |
如图,在正方体中,是棱的中点,在棱上. 且,若二面角的余弦值为,求实数的值. |
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