试题分析:(1)条件中出现了中点,需要证明的结论为线面平行,因此可以考虑构造三角形中位线证明线线平行,因此在矩形中,连结交于,则点为的中点.则为的中位线,从而,又平面平面可知平面;(2)题中出现了线面垂直,因此可以考虑建立空间直角坐标系利用空间向量求解,可以为原点,所在的直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,根据条件中数据,可先写出点的坐标: , 从而可以得到向量的坐标:,因此可求得平面的法向量为,设直线与平面所成角为,利用即可求得; (3)假设存在满足已知条件的,由,得,可分别求得平面的法向量为,再由平面的法向量,则由两平面所成锐二面角大小为可以得到关于的方程:,可解得或(舍去),方程有解,即说明上存在满足条件. 试题解析:(1)如图,在矩形中,连结交于,则点为的中点.在中,点为的中点,点为的中点,∴,又∵平面平面,∴平面; (2)由,则,由平面平面且平面平面,得平面,∴,又矩形中以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则, ∴, 设平面的法向量为, ∵,∴可取,设直线与平面所成角为, 则; (3)如图,假设存在点满足条件,则可设,得,设平面的法向量为,则由得, 由平面与平面所成的锐二面角为得:, ∴或(舍去),∴所求点为的靠近的一个三等分点,即在上存在满足条件.
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