试题分析:以 为坐标原点, 长为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,从而由已知可得各点坐标. (1)注意到四棱锥 的底面为直角梯形, , ,所以 ,应用空间向量的数量积可证 ,从而有DC PA,由于 与 是平面 内的两条相交直线,由此得 面 .又 在面 内,故面 ⊥面 ; (2)写出向量 的空间坐标,然后利用公式: 可求出所求两直线所成角的余弦值; (3)先求分别出二面角的两个面: 平面ACB和平面MAC的一个法向量,从而就可求出二面角的余弦值,进而就可求出其正弦值. 试题解析: 以 为坐标原点, 长为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,则各点坐标为 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106012855-63490.jpg) (1)证明:因![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106012855-10289.png) 由题设知 ,且 与 是平面 内的两条相交直线,由此得 面 .又 在面 内,故面 ⊥面 (2)解:因 故 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106012856-45117.png) 所以,AC与PC所成角的余弦值为 (3)解:易知平面ACB的一个法向量![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106012856-13479.png) 设平面MAC的一个法向量 则 ,不妨取 设二面角 的平面角为则 , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106012858-42904.png) 所以 |