试题分析:(1) 证明:面 面 ,在立体几何中,证明面面垂直,往往转化为证明线面垂直,即证一个平面过另一个平面的垂线,由已知 ,即 ,又因为 ∥ ,则 ,只需在平面 内再找一条垂线即可,由已知 平面 ,从而得 ,这样 平面 ,即得面 面 ;也可利用向量法, 以 为坐标原点 长为单位长度,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,利用向量来证 ,即得 ,其它同上; (2) 求面 与面 夹角的余弦值,可建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的大小,由(1) 建立的间直角坐标系,设出两个半平面的法向量,利用法向量的性质,求出两个半平面的法向量,利用法向量来求平面 与平面 的夹角的余弦值. 试题解析:(1) 以 为坐标原点 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106020902-36277.png) (1) 证明:因![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106020902-87643.png) 由题设知 ,且 与 是平面 内的两条相交直线,由此得 面 . 又 在面 上,故面 ⊥面 . 5分 (2) 解:在 上取一点 ,则存在 使![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106020904-93021.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106020904-75241.png) 要使 ,只需 ,即 ,解得 ,可知当 时, 点的坐标为 ,能使 ,此时 , ,有 ,由 得 ,所以 为所求二面角的平面角.因为 , , ,故 . 面 与面 夹角的余弦值 . 12分 |