试题分析:(方法一)证明:(1)在中,,, 所以为正方形,因此. ∵⊥平面,平面, ∴.又∵, ∴⊥平面. ……4分 (2)解:由⊥平面,知为在平面内的射影, 又,∴,知为二面角的平面角. 又∵,∴ . ……9分 (3)∵,∴, 设到面的距离为, 由,有, 即, 得. ……14分 (方法二)证明:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,
则、、. 在中,, ,∴, ∴ ∵, 即,又∵, ∴⊥平面. ……4分 解:(2)由(Ⅰ)得. 设平面的法向量为,则 即,∴ 故平面的法向量可取为 ∵⊥平面,∴为平面的法向量. 设二面角的大小为,依题意可得, ∴ ……9分 (3)由(Ⅰ)得, 设平面的法向量为, 则,即,∴, 故平面的法向量可取为. ∵,∴到面的距离为. ……14分 点评:解决空间中的平行、垂直以及距离等问题,有传统方法和向量方法两种方法,用传统方法时,要注意紧扣定理,把符合定理的条件都列出来;用向量方法时,运算量较大,要仔细、快速进行. |