(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2

(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
 
答案
(1)证明:见解析;(2)点A到平面PBC的距离等于
解析
本题考查线面平行,线面垂直,线线垂直,考查点到面的距离,解题的关键是掌握线面平行,线面垂直的判定方法,利用等体积转化求点面距离
(1)利用线面垂直证明线线垂直,即证BC⊥平面PCD;
(2)利用等体积转化求点A到平面PBC的距离.
(1)证明:∵ PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴ PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得CD⊥BC.又PD∩DC=D,PD,DC 平面PCD,
∴ BC⊥平面PCD.∵ PC 平面PCD,
故PC⊥BC.-------------------4分
(2)解:(方法一)分别取AB,PC的中点E,F,连DE,DF, 则易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D,E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍,由(1)知,BC⊥平面PCD,
∴平面PBC⊥平面PCD.
∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC.
平面PBC∩平面PCD=PC,∴ DF⊥平面PBC于F.
易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.--12分
(方法二):连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.
∵ AB∥DC,∠BCD=90°,∴ ∠ABC=90°.
由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD,及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积
V=SABC·PD=.∵ PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,∴ PD⊥DC.
∴ PD=DC=1,∴ PC=
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC
∵ VA - PBC=VP - ABC,∴ S△PBC·h=V=
得h=
故点A到平面PBC的距离等于.----------12分
举一反三
(本小题满分12分)四棱锥中,底面为矩形,侧面底面

(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)设与平面所成的角为
求二面角的余弦值.
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矩形中,⊥面上的点,且⊥面交于点.
(1)求证:
(2)求证://面.
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(本小题满分14分)
如图,已知正方体是底对角线的交点.
求证:(1)
(2 )
 
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(本小题满分12分)如图,分别是正三棱柱的棱的中点,且棱.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使二面角的大小为,若存在,求的长;若不存在,说明理由。
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(本题满分14分 )如图,在三棱柱中,所有的棱长都为2,.
  
(1)求证:
(2)当三棱柱的体积最大时,
求平面与平面所成的锐角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
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