如图，M是正方体的棱的中点，给出命题①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过

题型：不详难度：来源：

如图，M是正方体的棱的中点，给出命题

①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.
其中真命题是（   ）

A．②③④

B．①③④

C．①②④

D．①②③

答案

C

解析

解：直线AB与B₁C₁是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C₁C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B₁C₁交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．
所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B₁C₁都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直，此垂线就是棱DD₁，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B₁C₁都相交，故 ③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，