第一问中,利用线面平行的判定定理可以得到OD∥B1A,又B1A⊄平面BDC1,OD⊆平面BDC1 ∴B1A∥面BDC1 ;第二问中,利用建立空间直角坐标系可以设出法向量,利用法向量的夹角求解二面角的平面角的方法得到。 第三问中,利用假设成立,推出不符合线面垂直的情况,得到一个矛盾,进而得到结论。 (1)证明:连接B1C,交BC1于点O, 则O为B1C的中点, ∵D为AC中点, ∴OD∥B1A, 又B1A⊄平面BDC1,OD⊆平面BDC1 ∴B1A∥面BDC1(4分) (2)解:∵AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1, ∴CC1⊥面ABC, 则BC⊥平面AC1,CC1⊥AC 如图建系,则C1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0)
∴ C1D =(-3,1,0), C1B =(-3,0,2) 设平面C1DB的法向量为n=(x,y,z) 则n=(2,6,3) 又平面BDC的法向量为 CC1 =(3,0,0) ∴二面角C1-BD-C的余弦值:cos< CC1,n>= (CC1 .n)/ | CC1 |,|n| ="2/" 7 (3)不存在 (III)假设侧棱AA1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1. 则 CP • C1B =0 CP • C1D =0 , 即 3(y-3)=0 2+3(y-3)=0 ∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1.(14分) |