如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。(Ⅰ)证明直线∥;(II)求棱锥F—OBED的体积。

如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。(Ⅰ)证明直线∥;(II)求棱锥F—OBED的体积。

题型:不详难度:来源:
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线
(II)求棱锥F—OBED的体积。
答案
(1)见解析;(2)
解析
第一问中运用线面平行的性质定理,可以求证线线平行,结合了三角形的中位线定理。第二问中,求解棱锥的体积问题,一般就是求解底面积和高即可。先建立空间直角坐标系,然后表示三角形的面积,,结合向量的关系式得到体积公式。
解:
(I)(综合法)
证明:设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以

=


 
    OB∥1/2DE,OB =1/2DE,OG=OD=2,   同理,设G’是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG’=OD=2
又由于G和G’都在线段DA的延长线上,所以G与G’重合.
在△GED和△GFD中,由

=


 
 OB∥1/2DE,OB =1/2DE和OC∥1/2DF,OC=1/2DF可知B和C分别是GE和GF的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.
(向量法)
过点F作FQAD,交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,QE为X轴正向,QD为y轴正向,DF为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以即得BC∥EF.
(II)解:由OB=1,OE=2,,而△OED是边长为2的正三角形,故
所以
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F—OBED的高,且FQ=,所以
举一反三
在空间给出下面四个命题(其中为不同的两条直线),为不同的两个平面)




其中正确的命题个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,四棱锥的底面是矩形,,且侧面是正三角形,平面平面

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得二面角的大小为45°.若存在,试求的值,若不存在,请说明理由.
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在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点,
求点A到平面A1DE的距离;
求证:CF∥平面A1DE,
求二面角E-A1D-A的平面角大小的余弦值.
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如图 5,已知正方形ABCD在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形,其中A与A "重合,且BB"<DD"<CC".
(1)证明AD"//平面BB"C"C,并指出四边形AB"C"D’的形状;
(2)如果四边形中AB"C"D’中,,正方形的边长为
求平面ABCD与平面AB"C"D’所成的锐二面角的余弦值.

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如图,侧棱垂直底面的三棱柱中,是侧棱上的动点.
(1)当时,求证:
(2)若二面角的平面角的余弦值为,试求实数的值.
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