在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点,求点A到平面A1DE的距离;求证:CF∥平面A1DE,求二面角E-A1D-A的
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在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点,求点A到平面A1DE的距离;求证:CF∥平面A1DE,求二面角E-A1D-A的
题型:不详
难度:
来源:
在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点,
求点A到平面A1DE的距离;
求证:CF∥平面A1DE,
求二面角E-A1D-A的平面角大小的余弦值.
答案
(1)
;(2)见解析;(3)
.
解析
利用向量法解决立体几何问题,要先建立坐标系,写出点的坐标,求出对应的向量.(1)说出建立坐标系的过程,写出需要的点的坐标,设平面A1DE的法向量是
利用
可得
根据点A到平面A1DE的距离是
求得.(2)要证线面平行,可证直线对应的向量与面的法向量垂直.结合(1)容易证出;(3)依题意得
是面AA1D的法向量,由(1)得
是平面A1DE的法向量,根据
可求出二面角E-A1D-A的平面角大小的余弦值.
解:(1)分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0), A1(2,0,2),E(1,2,0),
D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则
设平面A1DE的法向量是
则
,
取
点A到平面A1DE的距离是
.
(2)
,
,
所以,CF∥平面A1DE.
(3)
是面AA1D的法向量,
.
举一反三
如图 5,已知正方形ABCD在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形
,其中A与A "重合,且BB"<DD"<CC".
(1)证明AD"//平面BB"C"C,并指出四边形AB"C"D’的形状;
(2)如果四边形中AB"C"D’中,
,正方形的边长为
,
求平面ABCD与平面AB"C"D’所成的锐二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,侧棱垂直底面的三棱柱
中,
,
,
,
是侧棱
上的动点.
(1)当
时,求证:
;
(2)若二面角
的平面角的余弦值为
,试求实数
的值.
题型:不详
难度:
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在空间,以下命题中真命题的个数为
①垂直同一条直线的两条直线平行;
②到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;
③有三个角是直角的四边形是矩形;
④自一点向一条已知直线引垂线有且只有一条。
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
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下面命题中错误的是
A.如果平面
平面
,那么平面
内一定存在直线平行于平面
;
B.如果平面
不垂直于平面
,那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
;
C.如果平面
平面
,平面
平面
,
,那么
平面
;
D.如果平面
平面
,那么平面
内所有直线都垂直于平面
。
题型:不详
难度:
|
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已知
为两条不同的直线,
、
为两个不同的平面,则下列命题正确的是
A.
;
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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