本试题主要考查了下年垂直的判定和二面角的求解。第一问中 要证线面垂直,利用线面垂直的判定定理可以得到。第二问中,利用 = ,以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系 为平面PBE的法向量.
为平面ABCD的法向量,利用向量的夹角公式得到结论 解:(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF, ∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF= PD. 又EC∥PD,且EC= PD,(2分) ∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形, ∴NE∥FC.(4分) ∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD. 又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分) 证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106035432-29256.jpg) 则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1, ),N( , , ), ∴ =( ,- ,0), =(1,1,-a), =(1,1,0). ∵ · = ×1- ×1-a×0=0,
· = ×1- ×1+0×0=0, ∴EN⊥PB,EN⊥DB. ∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分) (2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE. ∵ = ,DB= AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴ 为平面PBE的法向量. 设AD=1,则N( , , ),∴ =( , , ). ∵ 为平面ABCD的法向量, =(0,0, ),(10分) 设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ= = = , ∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分) 解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB, 则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106035434-73806.jpg) ∵PD=2EC,∴CD=CG=CB, ∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上, ∴DB⊥BG.(9分) ∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD, ∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB. ∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB, ∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分) 在Rt△PDB中,∵PD=DB, ∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分) |