解法一(Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为. 由可得. 所以. (Ⅱ)过作于,连结. 由底面可得.故为二面角的平面角. 在中,, 在Rt中,, 故所求二面角的余弦值大小为.
(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.设与交于点则为中点. 在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线, ∥,又平面,平面, ∥平面. 故存在点为中点,使∥平面. 解法二 直三棱柱,底面三边长, 两两垂直. 如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则
. (Ⅰ), ,故. (Ⅱ)平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为,,, 由得 令,则.则.故<>=. 所求二面角的余弦值大小为. (3)同上 |