已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线,而直线l和α相交,并且和a、b、c三条直线成等角.求证:l⊥α
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已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线,而直线l和α相交,并且和a、b、c三条直线成等角. 求证:l⊥α |
答案
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解析
证法一:分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO.设l经过O,在l上取一点P,在△POA、△POB、△POC中, ∵PO公用,AO = BO = CO,∠POA =∠POB=∠POC, ∴△POA≌△POB≌△POC ∴PA = PB = PC.取AB中点D.连结OD、PD,则OD⊥AB,PD⊥AB, ∵ ∴ AB⊥平面POD ∵PO平面POD. ∴PO⊥AB. 同理可证 PO⊥BC ∵,, ∴ PO⊥α,即l⊥α 若l不经过O时,可经过O作∥l.用上述方法证明⊥α, ∴l⊥α. 证法二:采用反证法 假设l不和α垂直,则l和α斜交于O. 同证法一,得到PA = PB = PC. 过P作于,则,O是△ABC的外心.因为O也是△ABC的外心,这样,△ABC有两个外心,这是不可能的. ∴假设l不和α垂直是不成立的. ∴l⊥α 若l不经过O点时,过O作∥l,用上述同样的方法可证⊥α, ∴l⊥α 评述:(1)证明线面垂直时,一般都采用直接证法(如证法一),有时也采用反证法(如证法二)或同一法. |
举一反三
已知四面体S-ABC中,SA⊥底面ABC,△ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的射影.求证:H不可能是△SBC的垂心.
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如图在ΔABC中, AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC, 且将ΔAFG沿FG折起,使∠A"ED=60°,求证:A"E⊥平面A"BC |
已知:,α⊥γ,β⊥γ,b∥α,b∥β. 求证:a⊥γ且b⊥γ. |
点P在平面ABC的射影为O,且PA、PB、PC两两垂直,那么O是△ABC的( )
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如图02,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点,PQ∥AB,C1Q⊥PR,求证:∠D1QR=90°.
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