在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为AD的中点.(1)证明:EM⊥AB;(2)求直线

在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为AD的中点.(1)证明:EM⊥AB;(2)求直线

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在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为
AD的中点.(1)证明:EM⊥AB;(2)求直线BM和平面ADE所成角的正弦值.
答案
(1)证明:以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设DB=1,则 CE=CA=CB=2.
由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,
1
2
),∴


EM
=(1,1-
3
2
),


AB
=(-2,2,0),∴


EM


AB
=-2+2+0=0,∴


EM


AB
,∴EM⊥AB.
(2)由(1)知


BM
=(1,-1,
1
2
),


AD
=(-2,2,1),


AE
=(-2,0,2),


DE
=(0,-2,1).
设面ADE的法向量为


n
=(x,y,z),则







n


AE
=0


n•


DE
=0
,即





-2x+2z=0
-2y+z=0



n
=(2,1,2)设直线BM和平面ADE所成角为θ,则 sinθ=|cos<


BM


n
>=|


BM


n
|


BM
|•|


n
|
|=
4
9
举一反三
如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点E是棱AB的中点,点F(0,y,z)是正方体的面AA1D1D上点,且CF⊥B1E,则点F(0,y,z)满足方程(  )
A.y-z=0B.2y-z-1=0C.2y-z-2=0D.z-1=0

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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱CD上.
(1)求证:EB1⊥AD1
(2)若E是CD中点,求EB1与平面AD1E所成的角;
(3)设M在BB1上,且
BM
MB1
=
2
3
,是否存在点E,使平面AD1E⊥平面AME,若存在,指出点E的位置,若不存在,请说明理由.
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△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为______.
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如图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求cos<


BA1


CB1
的值;
(2)求证:BN⊥平面C1MN.
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点.
(1)求异面直线AG与BF所成角的余弦值;
(2)求证:AG平面BEF;
(3)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
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