如图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(
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如图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(
题型:不详
难度:
来源:
如图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A
1
B
1
C
1
,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA
1
=2,M,N分别为A
1
B
1
,A
1
A的中点.
(1)求
cos<
B
A
1
,
C
B
1
>
的值;
(2)求证:BN⊥平面C
1
MN.
答案
以C为原点,CA,CB,CC
1
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的坐标系C-xyz,
(1)依题意,A
1
(1,0,2),C(0,0,0),B
1
(0,1,2),B(0,1,0),
∴
B
A
1
=(1,-1,2),
C
B
1
=(0,1,2),
∴
B
A
1
•
C
B
1
=1×0+(-1)×1+2×2=3,
又|
B
A
1
|=
6
,|
C
B
1
|=
5
,
∴cos<
B
A
1
,
C
B
1
>=
B
A
1
•
C
B
1
|
B
A
1
|•|
C
B
1
|
=
30
10
…6分
证明:(2)A
1
(1,0,2),C
1
(0,0,2),B
1
(0,1,2),N(1,0,1),
∴M(
1
2
,
1
2
,2),∴
C
1
M
=(
1
2
,
1
2
,2),
C
1
N
=(1,0,-1),
BN
=(1,-1,1),
∴
C
1
M
•
BN
=
1
2
×1+
1
2
×(-1)+1×0=0,同理可求
C
1
N
•
BN
=0,
∴
C
1
M
⊥
BN
,
C
1
N
⊥
BN
,C
1
M∩C
1
N=C
1
,
∴BN⊥平面C
1
MN…12分.
举一反三
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F,G分别为A
1
B
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点.
(1)求异面直线AG与BF所成角的余弦值;
(2)求证:AG
∥
平面BEF;
(3)试在棱BB
1
上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为4,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=3.
(1)求B
1
F与平面BCC
1
B
1
所成角的正切值;
(2)求证:B
1
F⊥D
1
E.
题型:不详
难度:
|
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一条线段AB的两端点A,B和平面α的距离分别是30cm和50cm,P为线段AB上一点,且PA:PB=3:7,则P到平面α的距离为( )
A.36cm
B.6cm
C.36cm或6cm
D.以上都不对
题型:不详
难度:
|
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若平面α与β的法向量分别是
a
=(2,4,-3),
b
=(-1,2,2)
,则平面α与β的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=3,BC=4,AB=5,AA
1
=4.
(1)求证:AC⊥BC
1
;
(2)在AB上是否存在点D,使得AC
1
∥
平面CDB
1
,若存在,确定D点位置并说明理由,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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