(I)由题意可得:以A为原点,分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,且DF=x,则A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0) 所以=(1,-,-1),=(1,0,1),=(x,1,0) 由D1E⊥面AB1F⇔⊥且⊥, 所以,可解得x= 所以当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F. (II)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,F(,1,0) 由正方体的结构特征可得:平面AEF的一个法向量为=(0,0,1), 设平面C1EF的一个法向量为=(x,y,z), 在平面C1EF中,=(0,,1),=(-,,0), 所以,即, 所以取平面C1EF的一个法向量为=(2,2,-1), 所以cos<,>=-, 所以<,>=π-arccos, 又因为当把,都移向这个二面角内一点时,背向平面AEF,而指向平面C1EF, 所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos 又因为=(-1,0,1), 所以cos<,>=-, 所以<,>=135∘, ∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°. |