如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,(Ⅰ)求证:DM⊥EB;(Ⅱ)设二面角M-BD

如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,(Ⅰ)求证:DM⊥EB;(Ⅱ)设二面角M-BD

题型:不详难度:来源:
如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CBDA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.魔方格
答案
分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,
魔方格

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,
则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)
所以M(a,a,
a
2
)

(Ⅰ):


DM
=(a,a,-
3a
2
) ,


EB
=(-2a,2a,0)



DM


EB
=a•(-2a)+a•2a+0=0



DM


EB
,即DM⊥EB.
(Ⅱ)设平面MBD的法向量为


n
=(x,y,z),


DB
=(0,2a,-2a)



n


DB


n


DM
,得







n


DB
=2ay-2az=0


n


DM
=ax+ay-
3a
2
z=0





y=z
x+y-
3z
2
=0

取z=2得平面MBD的一非零法向量为


n
=(1,2,2)

又平面BDA的一个法向量


n1
=(1,0,0)

cos<


n


n1
> =
1+0+0


12+22+22


12+0202
=
1
3
即cosβ=
1
3
举一反三
下列各组向量中不平行的是(  )
A.


a
=(1,2,-2),


b
=(-2,-4,4)
B.


c
=(1,0,0),


d
=(-3,0,0)
C.


e
=(2,3,0),


f
=(0,0,0)
D.


g
=(-2,3,5),


h
=(16,24,40)
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已知A(-4,6,-1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是(  )
A.(0,1,6)B.(-1,2,-1)C.(-15,4,36)D.(15,4,-36)
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a
=(x,y,3),


b
=(3,3,5),且


a


b
,则x+y
=(  )
A.1B.-1C.-5D.5
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F 是棱CD上的动点.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小.魔方格
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已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)三点,


n
=(1,1,1),则以


n
为方向向量的直线l与平面ABC的关系是(  )
A.垂直B.不垂直
C.平行D.以上都有可能
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