如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6.(1)求证:PA⊥B1D1;(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐
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如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6.(1)求证:PA⊥B1D1;(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐
题型:不详
难度:
来源:
如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体,其中AB=2,PA=
6
.
(1)求证:PA⊥B
1
D
1
;
(2)求平面PAD与平面BDD
1
B
1
所成锐二面角的余弦值.
答案
以D
1
为原点,D
1
A
1
所在直线为x轴,D
1
C
1
所在直线为y轴,D
1
D所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则D
1
(0,0,0),A
1
(2,0,0),B
1
(2,2,0),C
1
(0,2,0),
D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),
P(1,1,4).
(1)证明:∵
AP
=(-1,1,2),
D
1
B
1
=(2,2,0),
∴
AP
•
D
1
B
1
=-2+2+0=0,
∴PA⊥B
1
D
1
.
(2)平面BDD
1
B
1
的法向量为
AC
=(-2,2,0).
DA
=(2,0,0),
OP
=(1,1,2).
设平面PAD的法向量为
n
=(x,y,z),则
n
⊥
DA
,
n
⊥
DP
.
∴
2x=0
x+y+2z=0
∴
x=0
y=-2z
.取
n
=(0,-2,1),
设所求锐二面角为θ,则
cosθ=
|n•
AC
|
|n|•|
AC
|
=
|0-4+0|
2
2
×
5
=
10
5
.
举一反三
如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB
∥
DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.
题型:不详
难度:
|
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下列各组向量中不平行的是( )
A.
a
=(1,2,-2),
b
=(-2,-4,4)
B.
c
=(1,0,0),
d
=(-3,0,0)
C.
e
=(2,3,0),
f
=(0,0,0)
D.
g
=(-2,3,5),
h
=(16,24,40)
题型:不详
难度:
|
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已知A(-4,6,-1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是( )
A.(0,1,6)
B.(-1,2,-1)
C.(-15,4,36)
D.(15,4,-36)
题型:不详
难度:
|
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设
a
=(x,y,3),
b
=(3,3,5),且
a
⊥
b
,则x+y
=( )
A.1
B.-1
C.-5
D.5
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点E是棱BC的中点,点F 是棱CD上的动点.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D
1
E⊥平面AB
1
F;
(Ⅱ)当D
1
E⊥平面AB
1
F时,求二面角C
1
-EF-A的余弦值以及BA
1
与面C
1
EF所成的角的大小.
题型:不详
难度:
|
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