在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜CM，D1N＞的值为______．

题型：不详难度：来源：

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin＜

CM

，

D1N

＞的值为______．

答案

设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D₁（0，0，2），N（2，2，1）
可知

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1），
∴

CM

•

D1N

=2×2-2×2-1×1=-1，|

CM

|=3，|

D1N

|=3
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM || D1N |

=-

1

9

∴＜

CM

，

D1N

＞∈(

π

2

，π)
∴由三角函数的平方关系得sin＜

CM

，

D1N

＞=

4 5

9

故答案为

4 5

9

．