(Ⅰ)证明:∵底面ABCD是梯形,AD∥BC,∠DAB=90°, ∴BC⊥AB ∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC, ∵PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB; (Ⅱ)以A为原点,分别以AD,AB,AP所在直线x,y,z轴建立空间直角坐标系.
∴A(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2). ∴=(2,2,-2),=(0,2,0). ∴cos<,>=== ∴异面直线PC与AB所成角的余弦值是…(8分) (Ⅲ)假设在侧棱PA上存在一点E,使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是, 设E(0,0,m)(m>0),∴=(1,2,0),=(-1,0,m), ∴设平面CDE的法向量为=(x,y,z), ∴•=0,•=0, ∴ 令x=2,所以y=-1,z=,∴=(2,-1,). 又∵平面ACD的法向量为=(0,0,2), ∴cos<,>===,∴m=1 ∴点E的坐标是(0,0,1). ∴在侧棱PA上存在一点E(0,0,1),使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是.…(14分) |