(1)分别以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=a则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1), ∴=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0), ∵•=1-1=0 ∴B1E⊥AD1, ∴直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值为0; (2)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 由(1)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1. ∴AD1⊥平面DCB1A1, ∴是平面A1B1E的一个法向量,此时=(0,1,1) AB=2,设平面B1AE的法向量=(x,y,z),则=(2,0,1),=(1,1,0) ∵⊥平面B1AE,∴⊥,⊥, 得 取x=1,使得平面B1AE的一个法向量=(1,-1,2), 设与所成的角为θ,则 cosθ==- ∴二面角A-B1E-A1的大小为30°; (3)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)使得DP∥平面B1AE.此时=(0,-1,z0) 又设AB的长度为a,平面B1AE的法向量=(x,y,z),则=(a,0,1),=(,1,0) ∵⊥平面B1AE∴⊥,⊥得 取x=1,使得平面B1AE的一个法向量=(1,,-a) 要使DP∥平面B1AE,只要⊥,有-az0=0,解得z0= 又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=. |