解法一:(Ⅰ)连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5, 又AD=5,E是CD得中点, 所以CD⊥AE, PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD. 所以PA⊥CD, 而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线, 所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连接PF, 由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角. 由题意∠PBA=∠BPF,因为sin∠PBA=,sin∠BPF=,所以PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD. 所以四边形BCDG是平行四边形, 故GD=BC=3,于是AG=2. 在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF, 所以BG==2,BF===. 于是PA=BF=. 又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=. 解法二:以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为X轴,Y轴,Z轴建立空间直角坐标系, 设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h). (Ⅰ)=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h). 因为•=-8+8+0=0,•=0. 所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线, 所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)由题设和第一问知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量, 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等, 所以:|cos<,>|=|cos<,>|,即||=||. 由第一问知=(-4,2,0),=((0,0,-h),又=(4,0,-h). 故||=||. 解得h=. 又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.
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