如图，正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点， （1）求证：D′F∥平面A′DE；（2）求二面角A-DE-A′的余弦值。

题型：0108 期中题难度：来源：

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，
（1）求证：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值。

答案

（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1），
E（1，1，），F（，1，1），
，，，
设平面A′DE的法向量为，
则，即，
从而，
，
∴，
所以D′F∥平面A′DE；
（2）解：设平面ADE的法向量为，，，
则，即，
从而，
由（1）知DEA′的法向量为，
 ，
∴二面角A-DE-A′的余弦值为。