老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式OP=OA+λ(ABcosC|AB|+ACcosB|AC|)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”

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老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式OP=OA+λ(ABcosC|AB|+ACcosB|AC|)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”

题型：不详难度：来源：
老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式


OP
=


OA
+λ(


AB
cosC
|


AB
|
+


AC
cosB
|


AC
|
)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为


OP
=______．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）
答案
由题意可得：


BC
•（


AB
|


AB
| cosB
+


AC
|


AC
| cosC
）=-|


BC
|+|


BC
|=0
∴


BC
与λ（


AB
|


AB
| cosB
+


AC
|


AC
| cosC
）垂直
设D为BC的中点，则


OB
+


OC
2
=


OD
，
所以


OP
=


OB
+


OC
2
+λ(


AB
|


AB
|cosB
+


AC
|


AC
|cosC
)，即


OP
=


OD
+λ(


AB
|


AB
|cosB
+


AC
|


AC
|cosC
)，
所以λ（


AB
|


AB
| cosB
+


AC
|


AC
| cosC
）=


DP
，
因为


BC
与λ（


AB
|


AB
| cosB
+


AC
|


AC
| cosC
）垂直
所以


BC
•


DP
=0，
又∵点D为BC的中点，
∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．
故答案为：


OP
=


OB
+


OC
2
+λ(


AB
|


AB
|cosB
+


AC
|


AC
|cosC
)．
举一反三
在圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点（除这两个端点外）的连线的斜率之积为定值-1”是正确的．通过类比，对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，我们有结论“______”成立．
题型：奉贤区二模难度：| 查看答案
下列命题中，正确的是（　　）
A．一个平面把空间分成两部分
B．两个平面把空间分成三部分
C．三个平面把空间分成四部分
D．四个平面把空间分成五部分
题型：不详难度：| 查看答案
在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=______．类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的角分别是α，β，γ则有正确的式子是______．
题型：不详难度：| 查看答案
求“方程（
3
5
）x+（
4
5
）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（
3
5
）x+（
4
5
）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为______．
题型：黑龙江二模难度：| 查看答案
已知a＜b，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有______．（填上所有错误步骤的序号）
∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①
∴2a-2b＜b+a-2b，即2（a-b）＜a-b，…②
∴2（a-b）•（a-b）＜（a-b）•（a-b），即2（a-b）2＜（a-b）2，…③
∵（a-b）2＞0，∴可证得 2＜1．…④
题型：泉州模拟难度：| 查看答案
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