设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：aA+bB+cCa+b+c≥π3．

题型：不详难度：来源：

设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

答案

证明：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，
由排序不等式

aA+bB+cC

3

≥

A+B+C

3

?

a+b+c

3

，
即aA+bB+cC≥

π

3

（a+b+c），
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．