设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：aA+bB+cCa+b+c≥π3．

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设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：aA+bB+cCa+b+c≥π3．

题型：不详难度：来源：
设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．
答案
证明：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，
由排序不等式
aA+bB+cC
3
≥
A+B+C
3
?
a+b+c
3
，
即aA+bB+cC≥
π
3
（a+b+c），
∴
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．
举一反三
设a1，a2，…，an为正数，证明
a1+a2+…+an
n
≥
n
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
．
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设ai∈R+，xi∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…an2=1，x12+x22+…xn2=1，则
a1
x1
，
a2
x2
，…，
an
xn
的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是______．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．